- κογχοειδής
- (Μαθημ.). Χαρακτηρίζεται έτσι η καμπύλη που παράγεται κατά τον εξής τρόπο: έστω Γ μια τυχαία καμπύλη (του χώρου, γενικά) και ένα τυχαίο σημείο Ο. Έστω Ν ένα σημείο της Γ. Επάνω στην ευθεία ON παίρνουμε (NM) = μ (δοθέν μήκος). Τότε, καθώς το Ν διαγράφει τη Γ, το Μ διαγράφει μια καμπύλη, έστω Κ, που ονομάζεται η κ. της Γ ως προς το Ο με παράμετρο μ. Ειδικά: αν η Γ είναι ευθεία, τότε η κ. ονομάζεται κ. του Νικομήδη (3ος αι. π.Χ.). Η καμπύλη αυτή εμφανίζεται με τρεις διαφορετικές μορφές, που εξαρτώνται από το αν η παράμετρος μ είναι μεγαλύτερη, ίση ή μικρότερη από την απόσταση, έστω α, του σημείου Ο από την ευθεία Γ. Στο σχήμα παριστάνεται η κ. του Νικομήδη με μ > α. Ο Νικομήδης εφηύρε την ομώνυμή του καμπύλη στην προσπάθεια του να δώσει μια λύση στο Δήλιο πρόβλημα (του διπλασιασμού του κύβου), πράγμα που πέτυχε. Μάλιστα, κατασκεύασε και όργανο για τη χάραξή της με συνεχή κίνηση, τον κογχοειδογράφο. Τα στοιχεία αυτά προέρχονται από κείμενα του Πρόκλου και του Πάππου. Με την κ. του Νικομήδη, δίνεται μια λύση και στο πρόβλημα της τριχοτόμησης της γωνίας (ο Πρόκλος αναφέρει ότι ο Νικομήδης πέτυχε και μια λύση αυτού του προβλήματος με την ομώνυμή του καμπύλη).
Η κ. του Νικομήδη έχει εξίσωση: x2y2 = (y + α)2(μ2 – y2) σε καρτεσιανές συντεταγμένες (βλ. σχήμα) και ρ = αστμθ + μ σε πολικές συντεταγμένες.
Η κ. του Νικομήδη είναι συμμετρική ως προς τον άξονα y’y και οι δύο της κλάδοι έχουν κοινή ασύμπτωτο τον άξονα x’x. Στην ιδιαίτερη περίπτωση που η Γ είναι μια κωνική τομή και το Ο εστία της, η αντίστοιχη κ. ονομάζεται εστιακή.
Με τον όρο κ. χαρακτηρίζονται και οι εξής καμπύλες:
1. Η κ. του Καρτέσιου (ή και παραβολικήκ.). Η καμπύλη αυτή παράγεται ως εξής: έστω σε ένα ορθογώνιο σύστημα αναφοράς xOy μια παραβολή με άξονα το x’x και κορυφή A = (μ,0), Β ένα σημείο του άξονά της με Β = (μ + α, 0), όπου α σταθερό, και Γ = (0,γ) ένα σταθερό σημείο (του άξονα y’y). Η ευθεία ΓΒ τέμνει την παραβολή σε δυο σημεία M1, M2· αν το μ (παράμετρος) μεταβάλλεται (αν δηλαδή ο άξονας της παραβολής ολισθαίνει επάνω στο x’x), τα M1, M
2 διαγράφουν δύο καμπύλες· καθεμιά από αυτές ονομάζεται κ. του Καρτέσιου και είναι αλγεβρική καμπύλη 3ου βαθμού.
2. Οι κ. του Σλούζε· παράγονται ως εξής: έστω ένα σταθερό σημείο Ο, μια σταθερή ευθεία (ε) και ένα σημείο της Μ. Επάνω στην ευθεία OM παίρνουμε το σημείο Ν έτσι, ώστε να ισχύει: (OΚ) · (ΚM) = α2 (α > 0). Τέτοια σημεία Ν υπάρχουν δύο, έστω τα Ν1, Ν2 αν το Μ διαγράφει την (ε), καθένα από τα σημεία Ν1, Ν2 διαγράφει μια κ. του Σλούζε. Η κ. του Σλούζε έχει εξίσωση (x – 1)(x2 + y2) = αx2 σε καρτεσιανές συντεταγμένες και ρ = στμθ + ασυνθ σε πολικές συντεταγμένες.
Παίρνουμε (NM) = (NM’) = μ (σταθερό) πάνω στην ΟΝ. Αν το Ν διαγράφει το x’x, το Μ διαγράφει τον ένα και το M’ τον άλλο κλάδο της κογχοειδούς του Ν (στο σχήμα μ>α).
* * *-ές (ΑM κογχοειδής, -ές)νεοελλ.-μσν.αυτός που έχει σχήμα κόγχης(νεοελλ.-αρχ.)(γεωμ.) «κογχοειδής καμπύλη» ή απλώς «κογχοειδής» — ζεύγος καμπυλών που προκύπτει από μια αρχική καμπύλη και από ένα σημείο Ο, τον πόλο, αν ενωθούν μεταξύ τους τα σημεία τών τεμνουσών ΟΜ τής καμπύλης τα οποία απέχουν από το σημείο τομής Μ δεδομένη απόσταση ααρχ.όμοιος με κοχύλι. Επιρρ. κογχοειδώς (Α)με σχήμα κοχυλιού.[ΕΤΥΜΟΛ. < κόγχη + -ειδής (< εἶδος)].
Dictionary of Greek. 2013.
